Si prevede che il ciclone 'Dana', attualmente sopra la Baia del Bengala, attraverserà le coste degli Stati tra mezzanotte e venerdì mattina con velocità del vento di 100-110 km/h (62-68 mph), con raffiche fino a 120 km/h (75 mph), ha detto il dipartimento meteorologico.
Entrambi gli Stati hanno chiuso le scuole nelle aree che si prevede saranno colpite dalla tempesta e hanno chiesto ai pescatori di non avventurarsi in mare.
Le riprese televisive hanno mostrato pescatori che si affrettavano a mettere in sicurezza le loro case di paglia e le loro barche con delle corde, e funzionari che scortavano i residenti delle zone costiere verso i rifugi, mentre i venti e le piogge si abbattevano su alcune parti dell'Odisha giovedì.
Anche il porto di Dhamra del gruppo Adani, nella regione di Bhadrak, nello Stato, ha sospeso le operazioni.
"Abbiamo evacuato circa 50.000 persone finora, e un totale di circa 300.000 persone sarà probabilmente evacuato", ha detto a Reuters il Commissario speciale per i soccorsi Deoranjan Kumar Singh.
Anche il vicino Stato del Bengala Occidentale ha emesso un'allerta rossa per tre distretti situati in prossimità dell'area in cui si prevede che il ciclone faccia landfall, hanno detto i funzionari.
La capitale dello Stato, Kolkata, è rimasta nuvolosa giovedì con brevi momenti di pioggia.
Gravi tempeste colpiscono le città costiere dell'India e del vicino Bangladesh durante la stagione dei cicloni, da aprile a dicembre di ogni anno, causando danni ingenti.
Il peggior ciclone dell'Odisha negli ultimi anni è stato quello del 1999, che ha imperversato per 30 ore e ha ucciso 10.000 persone.
Almeno 16 persone sono rimaste uccise quando un ciclone si è abbattuto sull'India e sul Bangladesh a maggio, con velocità fino a 135 km orari.